程度のはなはだしいさま。ひどく。はなはだしく。ずいぶん。形容詞「いたい」の連用形から。
＊竹取物語〔9C末〜10C初〕
「八月十五日ばかりの月に出で居て、かぐや姫いといたく泣き給ふ」
（美しい日本語の辞典）
▷ 竹取物語
いたく【甚く】
〘副〙
（「いたし」の連用形から）はなはだしく。ひどく。
「いたく感銘した」
「いたく疲れた」
（広辞苑）
いたく【甚く】
〘副〙
物事の程度がはなはだしいさま。大いに。非常に。ひどく。
「いたく悲しむ」
「いたく感激する」
▶ 文語形容詞「いたし」の連用形から。
［表記］
「痛く」とも書くが、一般にかな書きが多い。
（明鏡国語辞典）
いたく【甚く】
・いたく気に入る
be extremely pleased with sth
・その豪華な貢ぎ物を見て、王はいたくご満悦のご様子であった。
When he saw the magnificent tribute, the king showed extreme delight.
（新和英大辞典）
